第三章
3 3- - 1
已知二阶系统闭环传递函数为
36 9362 s sG B
。
试求单位阶跃响应的 t r , t m ,δ% , t s 的数值？ 解:[题意分析]这就是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法就是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比,求出n 参数,而后把n 代入性能指标公式中求出rt ,mt , % ,st 与 N 的数值。
) / ( 6 36 秒 弧度 n
（弧度）秒 （弧度72 . 0 41 . 411) / 97 . 3 166 . 0 175 . 0292122 tgn dn
上升时间 t r
秒 61 . 097 . 372 . 0 14 . 3drt
峰值时间 t m
秒 79 . 097 . 314 . 3 dmt
过度过程时间 t s
%) 2 ( 89 . 06 75 . 04 4秒 nst
%) 5 ( 70 . 06 75 . 03 3秒 nst
超调量δ％
% 8 . 2 % 100 % 100 %66 . 075 . 012 e e
3 3- -2 2 设单位反馈系统的开环传递函数为
) 1 (1) (s ss G K
试求系统的性能指标,峰值时间,超调量与调节时间。
解:[题意分析]这就是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里
要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数( ,n )的对应关系,然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为
11) () () (2 s s s Xs Ys G B
与二阶系统传递函数标准形式2 222n nns s 相比较可得 1 2 , 12 n n ,即n =1, =0、5。由此可知,系统为欠阻尼状态。
故,单位阶跃响应的性能指标为
秒秒秒61 5 . 03 3%) 5 (81 5 . 04 4%) 2 (% 4 . 16 % 100 %63 . 31212 nsnsnmttet 3 3- -3 3
如图 1 所示系统,假设该系统在单位阶跃响应中的超调量 % =25%,峰值时间mt =0、5 秒,试确定 K 与τ的值。
X(s)
Y(s) 图 图 1 1
解:[题意分析]这就是一道由性能指标反求参数的题目,关键就是找出:K,τ与 ,n的关系; % ,mt 与 ,n 的关系;通过 ,n 把 % ,mt 与 K,τ联系起来。
由系统结构图可得闭环传递函数为
K s K sKs K s sKs Xs Ys G B ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) () () (2 与二阶系统传递函数标准形式相比较,可得
221 21 2 ;nnn nK K 或
由题目给定:
% 25 % 100 %21 e
即
25 . 021 e
两边取自然对数可得 ) 1 ( s sk 1 s
3863 . 1 25 . 0 ln12
4 . 03863 . 13863 . 12 2
依据给定的峰值时间:
5 . 012 nmt (秒) 所以
85 . 61 5 . 02 n (弧度/秒) 故可得
47 95 . 462 nK
τ≈0、1 3-4 已知系统的结构图如图 2 所示,若 ) ( 1 2 ) ( t t x
时,试求:
(1) 当τ=0 时,系统的 t r , t m , t s 的值。
(2) 当τ≠0 时,若使δ％=20%,τ应为多大。
X(s)
Y(s) 图 图 2
解:[题意分析]这就是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不就是单位阶跃信号时,求性能指标。关键就是求出 n , , 。(2)的求法与例 4－3－3 相似。
(1) 由结构图可知闭环传递函数为
50 250) () () (2 s s s Xs Ys G B
可得
) / ( 07 . 7 50 秒 弧度 n
弧度 43 . 1 95 . 811; 14 . 02221 tgn 由于ss X2) (
输出的拉氏变换为
2 2222) (n nnss Y
则拉氏反变换为 ) 2 (5 . 0 s s100 s
%) 2 ( 71 . 307 . 7 14 . 04 4%) 5 ( 78 . 207 . 7 14 . 03 345 . 099 . 0 07 . 714 . 3124 . 099 . 0 07 . 743 . 1 14 . 31% 64 % 100 % 100 %) 95 . 81 7 sin( 01 . 1 1 2) sin(11 2 ) (2299 . 044 . 01995 . 022秒秒秒秒 nsnsnmnrdttttte et etet yn (2) 当τ≠0 时,闭环传递函数 50 ) 5 . 0 2 (50) () () (2 s s s Xs Ys G B ) / ( 07 . 7 50 秒 弧度 n
5 . 0) 1 ( 25 . 0 2 2 nn 得
由
% 20 % 100 %21 e
2 . 021e
两边取自然对数
61 . 1 2 . 0 ln12 , 可得
46 . 061 . 161 . 12 2
故
73 . 85 .) 1 07 . 7 46 . 0 ( 2 o
%) 2 ( 92 . 007 . 7 46 . 03 3秒 nst 3-5 (1) 什么叫时间响应
答:系统在外加作用的激励下,其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
(2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义就是什么？
答:时间响应由瞬态响应与稳态响应两部分组成。瞬态响应就是系统受到外加作用后,系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。稳态响应就是系统受到外加作用后,时间趋于无穷大时,系统的输出状态或称稳态。
(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？
答:时间响应由瞬态响应与稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性,相对稳定性及响应的快速性;稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。
(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？ 答:延迟时间dt ;上升时间rt ;峰值时间mt ;调节时间st ;最大超调量 % 、 d t ,rt ,mt ,st反映系统的快速性,即灵敏度, % 反映系统的相对稳定性。
3-6 设系统的特征方程式为
0 6 11 12 62 3 4 s s s s
试判别系统的稳定性。
解:特征方程符号相同,又不缺项,故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别。
36) 61 ( 0 455) 6 ( 36 610 11 66 12 101234sssss同乘同乘
由于第一列各数均为正数,故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为
0 ) 1 )( 3 )( 2 (2 s s s s
根2321, 3 , 24 , 3 2 1j s s s 均有负实部,系统稳定。
3-7 设系统的特征方程式为
0 2 22 3 s s s
解:列劳斯表
212210123ssss
将特征方程式因式分解为
0 ) 2 )( 1 (2 s s
根为
2 , 13 2 , 1 s j s
系统等幅振荡,所以系统临界稳定。
3-8
单位反馈系统的开环传递函数为
) 1 25 . 0 )( 1 1 . 0 () ( s s sKs G k
试求 k 的稳定范围。
解:系统的闭环特征方程:
0 35 . 0 025 . 00 ) 1 25 . 0 )( 1 1 . 0 (2 3 K s s sK s s s 列劳斯表
K sKKsK ss012302 . 0 35 . 035 . 01 025 . 0
系统稳定的充分必要条件
K>0 0、35-0、025K>0 得
K<14 所以保证系统稳定,K 的取值范围为 0<K<14。
3-9 (1) 系统的稳定性定义就是什么？
答:系统受到外界扰动作用后,其输出偏离平衡状态,当扰动消失后,经过足够长的时间,若系统又恢复到原平衡状态,则系统就是稳定的,反之系统不 稳定。
(2) 系统稳定的充分与必要条件就是什么？
答:系统的全部特征根都具有负实部,或系统传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半部。
(3) 误差及稳态误差的定义就是什么？
答:输出端定义误差 e(t):希望输出与实际输出之差。输入端定义误差 e(t);输入与主反馈信号之差。稳态误差,误差函数 e(t),当 t→∞时的误差值称为稳态误差,即 3-10 已知单位反馈随动系统如图 3 所示。若16 K,s T 25 . 0 。试求: (1)典型二阶系统的特征参数 与n; (2)暂态特性指标pM与) 5 (00st;
(3)欲使0016 pM,当 T 不变时, K 应取何值。
) (s R) 1 ( Ts sK) (s C
图 3 随动系统结构图 解: 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为
TKsTsT KK s TsKs Φ 1/) (22 与典型二阶系统的传递函数比较 2 222 s(s)n nnsΦ 得
KTTKn21, 已知 K 、 T 值,由上式可得 25 . 021), / ( 825 . 016 KTs radTKn 于就是,可
% 47 % 100 % 100 %2225 . 0 125 . 01 e e Mp ) % 5 ( 5 . 18 25 . 03 3 s tns 为使0016 pM,由公式可求得5 . 0 ,即应使 由 0、25 增大到 0、5,此时 425 . 0 25 . 0 4141 TK
即 K 值应减小 4 倍。
3-11 控制系统框图如图 4 所示。要求系统单位阶跃响应的超调量% 5 . 9 pM,且峰值时间s t p 5 . 0 。试确定1K与 的值,并计算在此情况下系统上升时间rt与调整时间) 2 (00st。
1K) (s R ) (s Cs ) 1 5 . 0 (10 s s
图 4 控制系统框图 解:由图可得控制系统的闭环传递函数为:
12110 ) 10 1 (10) () (K s sKs Rs C 系统的特征方程为0 10 ) 10 1 (12 K s s 。所以
10 1 2 , 1021 n nK 由题设条件:
095 . 0 % 10021 e Mp,s tnp5 . 012 可解得854 . 7 , 6 . 0 n ,进而求得 84 . 0101 2, 15 . 61021 n nK 在 此 情 况 下 系 统 上 升 时 间
rad s tnr9273 . 0 1 . 53 ) ( cos 35 . 010 12 调整时间
85 . 04%) 2 ( nst 3-12 设系统的特征方程式分别为 1.0 5 4 3 22 3 4 s s s s
2.0 1 2 22 3 4 s s s s 3.0 2 2 3 32 3 4 5 s s s s s 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解:解题的关键就是如何正确列出劳斯表,然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。
1.列劳斯表如下 s4
1
3
5
s3
2
4
s2
1
5 s1
-6 s0
5 劳斯表中第一列系数中出现负数,所以系统不稳定;又由于第一列系数的符号改变两次,1→-6→5,所以系统有两个根在 s 平面的右半平面。
2.列劳斯表如下 s4
1
1
1
s3
2
2
s2
0(ε)
1
s1
2-2/ε s0
1 由于ε就是很小的正数,ε行第一列元素就就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次,所以系统有两个位于右半 s 平面的根。
3.列劳斯表如下 s5
1
3
2
s4
1
3
2 s3
0
0
由上表可以瞧出,s3 行的各项全部为零。为了求出 s3 各行的元素,将 s4 行的各行组成辅助方程式为
A(s)= s4+3s2+2s0
将辅助方程式 A(s)对 s 求导数得 s sdss dA6 4) (3 用上式中的各项系数作为 s3 行的系数,并计算以下各行的系数,得劳斯表为 s5
1
3
2
s4
1
3
2 s3
4
6
s2
3/2
2 s1
2/3
s0
2 从上表的第一列系数可以瞧出,各行符号没有改变,说明系统没有特征根在 s 右半平面。但由于辅助方程式 A(s)= s4+3s2+2=(s2+1)(s2+2)=0 可解得系统有两对共轭虚根 s1,2=±j,s3,4=±j2,因而系统处于临界稳定状态。
3-13 已知系统结构图如图 5 所示,试确定使系统稳定的 K 值范围。
解: 解题的关键就是由系统结构图正确求出系统的特征方程式,然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的K 值范围。
图 5 控制系统结构图
闭环系统的传递函数为
K s s sKs Φ 2 3) (2 3 其闭环特征方程式为
s3 + 3s2 + 2s+ K
=0
列劳斯表为:
s3
1
2
s2
3
K
s1
(6- K )/3
s0
K
为使系统稳定,必须使劳斯表中第一列系数全大于零,即0 K与0 6 K,因此, K 的取值范围为6 0 K,并且系统临界稳定放大系数为lK=6。
3-14 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。
(1)) 1 5 . 0 )( 1 1 . 0 (10) ( s s ss G
(2)) 5 . 0 () 5 )( 1 () ( 10) (2 as s sa ss G 试求:1.静态位置误差系数pK、静态速度误差系数vK与静态加速度误差系数aK; 2.求当输入信号为24 ) ( 1 ) ( t t t t r 时的系统的稳态误差。
解:(1)首先判断系统的稳定性。
系统的闭环传递函数为
200 20 12200) ( 1) () (2 3 s s s s Gs Gs Φ ) (s R ) (s C) 2 )( 1 ( s s sK
其闭环特征方程为0 200 20 122 3 s s s。由劳斯判据可知系统就是稳定的。系统为Ⅰ型,可以求得静态误差为: ) 1 5 . 0 )( 1 1 . 0 (10lim ) ( lim0 0s s ss G Ks sp 10) 1 5 . 0 )( 1 1 . 0 (10lim ) ( lim0 0 s s ss s sG Ks sv 0) 1 5 . 0 )( 1 1 . 0 (10lim ) ( lim2020 s s ss s G s Ks sa 所以给定输入信号的稳态误差计算如下: a v pssK K Ke2 411 (2) 判断系统稳定性。
系统的闭环传递函数为
5 10 5 6) 5 . 0 ( 10) ( 1) () (2 3 4 s s s sss Gs Gs Φ 其闭环特征方程为0 5 10 5 62 3 4 s s s s。由劳斯判据可知系统就是稳定的。系统为Ⅱ型,可以求得静态误差为: ) 5 )( 1 () 5 . 0 ( 10lim ) ( lim20 0s s sss G Ks sp ) 5 )( 1 () 5 . 0 ( 10lim ) ( lim20 0s s sss s sG Ks sv 1) 5 )( 1 () 5 . 0 ( 10lim ) ( lim22020 s s sss s G s Ks sa 所以给定输入信号的稳态误差计算如下: 22 411 a v pssK K Ke
注意:该例中若取2 a,则由劳斯判据可知系统就是不稳定的。因此不能定义静态误差系数,也谈不上求稳态误差。
第四章 章 4-1.单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( )( 2)( 3)K sG ss s s 试绘制闭环系统的概略根轨迹。
解:按下述步骤绘制概略根轨迹 （1）
系统开环有限零点为11 z ,开环有限极点为1 2 30, 2, 3 p p p 。
（2）
实轴上的根轨迹区间为 [ 3, 2],[ 1,0] 。
（3）
根轨迹的渐近线条数为 2 n m ,渐近线的倾角为1 290, 90 ,渐近线与实轴的交点为1 12n mi ii iP zn m （4）
确定分离点。分离点方程为1 1 1 12 3 1 d d d d ,用试探法求得 2.47 d 。
闭环系统概略根轨迹如下图 1
图 1 4-2.设某负反馈系统的开环传递函数为2( 1)( ) ( )(0.1 2)K sG s H ss s,试绘制该系统的根轨迹图。
解:渐近线与实轴的交点10 14.52
渐近线与实轴正方向的夹角为2 。
分离点与汇合点:由2 22( 10) (2 13 20)01 ( 1)d s s s s sds s s
得22 13 20 0 s s
所以,1,22.5 4 s 或 。根轨迹如下图 2
图 2 4-3.以知系统开环传递函数2( ) ( )( 4)( 4 20)KG s H ss s s s 试绘制闭环系统的根轨迹。
解:(1)系统无开环有限零点,开环极点有四个,分别为 0,-4, 2 4 j
(2)实轴上的根轨迹区间为 [ 4,0] 。
(3)渐近线有四条 2, 45 ,135 ,225 ,315a a 。
(4)根轨迹的起始角。复数开环极点3 43,42 4 90, 90p pp j 处
(5)确定根轨迹的分离点。由分离点方程1 1 1 104 2 4 2 4 d d d j d j 解得1 2,32, 2 6 d d j 时，K=100 ,1 2d d d ３ ， ， 皆为根轨迹的分离点。
（6）
系统闭环特征方程为4 3 2( ) 8 36 80 0 D s s s s s K
列写劳斯表,可以求出当 K=260 时,劳斯表出现全零行,辅助方程为2( ) 26 260 0 A s s 。解得根轨迹与虚轴的交点 10 。如下图 3
图 3 4-4.单位反馈控制系统的开环传递函数为(1 )( )( 2)K sG ss s,k 的变换范围为 0 ,试绘制系统根轨迹。
解:分析知道,应绘制零度根轨迹。按照零度根轨迹的基本法则确定根轨迹的参数:(1)系统开环有限零点为 1,开环有限极点为 0,-2。
(2)实轴上的根轨迹区间为 [ 2,0],[1, ] 。
(3)渐近线有一条 0a
(4)确定根轨迹的分离点,由分离点的方程 22 2( 2 ) ( 1)(2 2)( ) 0( 2)d K s s K s sG sds s s ,解得1 22.732, 0.732 d d
（5）
确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为2( ) 2 0 D S s s Ks K 。当k=-2 时,闭环特征方程的根为1,22 s j 。如下图 4:
图 4
4-5.以知单位反馈系统的开环传递函数为21( )4( )( 1)s aG ss s,a 的变化范围为 [0, ] ,试绘制系统的闭环根轨迹。
解:系统闭环特征方程为3 21 1( ) 04 4D S s s s a
即有3 2141 014as s s 。等效开环传递函数为13 2( )14KG ss s s ,14K a ,变化范围为[0, ] 。
（1）
等效系统无开环有限零点,开环极点为1 2 310,2p p p
（2）
实轴上的根轨迹区间为 ( ,0]
（3）
根轨迹有三条渐近线1, 60 ,180 , 1203a a
（4）
根轨迹的分离点方程22 41(3 2 )4( ) 01( )2K s sdG sdss s ,解得1 21 1,2 6d d 。
（5）
确定根轨迹与虚轴的交点。由劳斯表,可以求出当 a=1 时,劳斯表出现全零行,辅助方程为21( ) 04A s s 。解得1,212s j 。如下图 5
图 5 4-6、 设单位反馈控制系统开环传递函数) 1 5 . 0 )( 1 2 . 0 () ( s s sKs G ,试概略绘出系统根轨
迹图(要求确定分离点坐标 d )。
解) 2 )( 5 (10) 1 5 . 0 )( 1 2 . 0 () ( s s sKs s sKs G
系统有三个开环极点: 01 p , 22 p , 53 p
① 实轴上的根轨迹:
5 , , 0 , 2
② 渐近线: ,3 3) 1 2 (3735 2 0kaa ③ 分离点: 02151 1d d d 解之得: 88 . 01 d , 7863 . 32 d (舍去)。
④ 与虚轴的交点:特征方程为
0 10 10 7 ) (2 3 k s s s s D
令
0 10 )] ( Im[0 10 7 )] ( Re[32 j Dk j D
解得710k 与虚轴的交点(0, j 10 )。
根轨迹如图 6 所示。
图 6 4-7.设系统开环传递函数
) )( 4 (20) (b s ss G
试作出 b 从 0 变化时的根轨迹。
解:做等效开环传递函数
G(s)20 4) 4 (2 s ss b ① 实轴上的根轨迹: ] 4 , (
② 分离点:414 214 21 d j d j d 解得: 472 . 01 d (舍去), 472 . 82 d
如图解 4－14 所示,根轨迹为以开环零点为圆心,开环零点到开环极点的距离为半径的圆。