《 13.4 课题学习
最短路径问题》 教学设计
一、教材分析
1 1 、地位作用：
随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2 2 、 目标和目标解析：
（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 3 3 、教学重、难点
教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.
二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程
教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景
引入课题
师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识. 从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
（板书）课题 二、自主探究
合作交流
建构新知
追问 1 1 ：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动 1 1 ：思考画图、得出数学问题
将 A ， B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线．
追问 2 2
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小（如图）．
动手画 直线
观察口答
动手连线 观察口答
独立思考 合作交流
为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.
经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.
强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动 2 2 ：尝试解决数学问题
问题 2 2
：
如图，点 A ， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 1 1
你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B ′吗？
问题 3 3
如图，点 A ， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 如果学生有困难，教师可作如下提示
汇报交流成果，书写理由.
思考感悟活动 1 中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来
学生独立完成，集体订正
达到轴对称知识的学以致用
注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决
及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.
学以致用，及时巩固
作法：
（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′； （2）连接 AB ′，与直线 l 相交于点 C ，则点 C 即为所求． 如图所示：
问题 3 3
你能用所学的知识证明 AC + BC 最短吗？
教师展示：证明：如图，在直线 l 上任取一点 C ′（与点C 不重合），连接 AC ′， BC ′， B ′ C ′． 由轴对称的性质知， BC = B ′ C ， BC ′= B ′ C ′． ∴ AC + BC =
AC + B′C =
AB′ ， AC′ + BC′ =
AC′ + B′C′ ．
学生独立完成，集体订正
注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决
经历观察-画图-说理等活动，感B ′
方法提炼：
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题 4 4
练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．
基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线 BC ，这样问题就转化为“点 P ， Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC 上找到一点 R ，使 PR 与 QR 的和最小”． 问题 5
造桥选址问题
如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
互相交流解题经验
独立完成，交流经验
观察思考，受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.
提炼思想方法：轴对称，线段和最短
MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
思维点拨：改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）
1、把 A 平移到岸边. 2、把 B 平移到岸边. 3、把桥平移到和 A 相连. 动手画图，用轴对称知识进行解决
各抒己见
合作与交流
体会转化思想，
体验轴对称知识的应用
动手体验
动手作图
4、把桥平移到和 B 相连. 教师：上述方法都能做到使 AM+MN+BN 不变呢？请检验. 1、2 两种方法改变了.怎样调整呢？把 A 或 B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决：如图，平移 A 到 A1，使ＡA1 等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
如图所示：
交流体会
体验转化思想 B A
方法提炼：
将最短路径问题转化为“线段和最小问题” 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 三、巩固训练
（一）基础训练：1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋ CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋ CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l的对称点 B ′，则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点．
2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
学生独立思考解决问题
独立思考，合作交流.
巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.
提炼方法，为课本例题奠定基础.
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥 MN 和PQ 在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A点处、都平移到 B 点处、MN 平移到 A 点处，PQ 平移到 B点处
. （二）变式训练：
如图，小河边有两个村庄 A ， B ，要在河边建一自来水厂向A 村与 B 村供水．
(1)若要使厂部到 A ， B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到 A ， B 两村的水管最短，应建在什么地方？ （三）综合训练：
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO ， BO )， AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌ABQNABMP
面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图 a
图 b
四、反思小结
布置作业
小结反思
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？ 你还有哪些收获？
作业布置、课后延伸
必做题：课本 P93-15 题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题 自由发言,相互借鉴.自我评价.
总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.
关注学生的个体差异. 板书设计：
教学反思：
13.4 最短路径问题
两点的所有连线中，线段最短”、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题． 方法提炼：
将最短路径问题转化为“线段和最小问题”
《 13.4 课题学习
最短路径问题》导学案
学习目标：
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题
一、 知识链接
1.如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
2.如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ （1）三角形的三边关系：
___________________________________ ； (2)直角三角形中边的关系：
______________________________ .
4.如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？
一、 要点探究
探究点 1 1 ：
牧人饮马问题
想一想：
1.现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A，点 B 的距离的和最短？
2.如果点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何将点 B“移”到 l 的另一侧B′处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′的长度相等？ 实际问题:如图，牧马人从点 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
数学问题:如图，点 A、B 在直线 l 的同一侧，在直线 l 上求作一点 C,使 AC+BC 最短.
：
要点归纳：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；（2）连接 AB′，与直线l 相交于点 C．则点 C 即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点 C 使 AC +BC 最短吗？ 证明：
要点归纳: :在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择. 典例精析
例 例 1 1 ：如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的 中点，AD=5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（
）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
例 例 2 2 ：如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一 条直线上，当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（
）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后
作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点 2 2 ：造桥选址问题
实际问题：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
数学问题：如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：我们能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 画一画：
（1）把 A 平移到岸边.
（2）把 B 平移到岸边.
（3）把桥平移到和 A 相连.
（4）把桥平移到和 B 相连.
：
比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得 AM+MN+BN 最短？
要点归纳：如图，平移 A 到 A 1 ，使 AA 1 等于河宽，连接 A 1 B 交河岸于 N 作桥MN，此时路径 AM+MN+BN 最短.
证明：另任作桥 M 1 N 1 ，连接 AM 1 ，BN 1 ，A 1 N 1 .
针对训练
1.如图，直线 l 是一条河，P、Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的 是（
）
2.如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．
想一想：如何说明此时AM+MN+BN 最 短呢？
3.如图，小河边有两个村庄 A ， B ，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水． (1)若要使厂址到 A ， B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到 A ， B 两村的水管最短，应建在什么地方？
二、 课堂小结
1.如图，直线 m 同侧有 A、B 两点，A、A′关于直线 m 对称，A、B 关于直线n 对称，直线 m 与 A′B 和 n 分别交于 P、Q，下面的说法正确的是（
）
A．P 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A、B 距离相等的点 B．Q 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A、B 距离相等的点 C．P、Q 都是 m 上到 A、B 距离之和最短的点 最短路径问题 牧人饮马问题 造桥选址问题 轴对称+线段公理 平移
D．P、Q 都是 m 上到 A、B 距离相等的点
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10．若在 OA、OB 上分别有动点 Q、R，则△PQR 周长的最小值是（
）
A．10
B．15
C．20
D．30 3.如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD,若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米. 4.如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2），B（1，3）．点 P 在 x 轴上，当 PA+PB 的值最小时，在图中画出点 P．
5.如图，荆州古城河在 CC′处直角转弯，河宽相同，从 A 处到 B 处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD ′E ′EB 的路程最短？
拓展提升
6.（1）如图 1，在 AB 直线一侧 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点． （2）如图 2，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点． （3）如图 3，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点．
《 13.4 课题学习
最短路径问题》导学案
学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形
的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 重点：作轴对称图形
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题 学习过程：
一、复习旧知 1、 动一动：如图，已知△ ABC 和直线 l ，你能作出△ ABC 关于直线 l 对称的图形。
二、预习新课 2、[探究 1] 如图（1）．要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在 L 上找几个点试一试，能发现什么规律吗？
[探究 2] 为什么在点 C 的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？ 过程：将实际问题转化为数学问题， 该问题就是证明
． 已知：
求作：
证明过程：
三、随堂练习 1、任画一条直线 L 及直线 L 同旁两点 M、N，画出从点 M 出发经过直线 L 上的某一点后，再到达 N 点的最短路线。
.N .M
2、已知：两点 A、B 位于直线 L 的两侧，在直线 L 上求作一点 C，使得 AC-BC最大。
A .
.B
四、课时小结 五、巩固提升 1、如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
2、 为保证2008北京奥运会顺利进行，奥组委在公路L的同侧修建你A，B 两个日用品供应站，要在过路边建一个转运站 C，使 A,B 两站到转运站 C 的距离之和最短，问这个转运站应建在公路的哪个位置上比较合理？ A .
B .
《 13.4 课题学习
最短路径问题》导学案
一、
学习目标
①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容
自学课本 5 85 页，完成下列问题：
追问 1 1 ：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动 1 1 ：思考画图、得出数学问题
将 A ， B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线．
追问 2 2
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小（如图）．
三、探究学习
1、 活动 2 2 ：尝试解决数学问题
问题 2 2
：
如图，点 A ， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 1 1
你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接 AB ′，与直线 l 相交于点 C ，则点 C 即为所求
四、巩固测评
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋ CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点． 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：
（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′； （一）基础训练：1、最短路径问题
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA＋ CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′，则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点．
2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄 A ， B ，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水．
AB
(1)若要使厂部到 A ， B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到 A ， B 两村的水管最短，应建在什么地方？
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO ， BO )， AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图 a
图 b 五、学习心得
。
《 13.4
课题学习
最短路径问题》同步练习
基础巩固 1．有两棵树位置如图，树脚分别为 A ， B .地上有一只昆虫沿 A — B 的路径在地面上爬行．小树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 C处，问小鸟飞至 AB 之间何处时 ，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠ AOB 内的P 点，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间（三）综合训练：
最少？
3．如图所示， P ， Q 为△ ABC 边上的两个定点，在 BC 上求作一点 R ，使△ PQR的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边 OP 放了一些球(如图)， 则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地 A?
能力提升 5．公园内两条小河 MO ， NO 在 O 处汇 合，两河形成的半岛上有一处景点 P (如图所示)．现计划在两条小河 上各建一座小桥 Q 和 R ，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥 应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A ， B 到河岸 CD 的距离分别为 AC ，BD ，且 AC ＝ BD ，若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m.
(1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最
短？在图中作出该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？
参考答案
1． 解：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D ′，连接 CD ′交 AB 于点 E ，则点 E就是所求的点．
2． 解：如图所示，(1)分别作点 P 关于 OA ， OB 的对称点 P 1 ， P 2 ； (2)连接 P 1 P 2 ，与 OA ， OB 分别相交于点 M ， N . 因为乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，所以乙必须站在 OA 上的 M 处，丙必须站在 OB 上的 N 处才能使传球所用时间最少．
3． 解：(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P ′； (2)连接 P ′ Q ，交 BC 于点 R ，则点 R 就是所求作的点(如图所示)．
4． 解：如图，作小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A ′，连接 AA ′交 OP于点 B ，则小明行走的路线是小明→ B → A ， 即在 B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地 A .
5． 解：如图，作 P 关于 OM 的对称点 P ′，作 P 关于 ON 的对称点 P ″，连接P ′ P ″，分别交 MO ， NO 于 Q ， R ，连接 PQ ， PR ，则 P ′ Q ＝ PQ ， PR ＝ P ″ R ，则 Q ，R 就是小桥所在的位置．
理由：在 OM 上任取一个异于 Q 的点 Q ′，在 ON 上任取一个异于 R 的点 R ′，连接 PQ ′， P ′ Q ′， Q ′ R ′， P ″ R ′， PR ′，则 PQ ′＝ P ′ Q ′， PR ′＝ P ″ R ′，且 P ′ Q ′＋ Q ′ R ′＋ R ′ P ″ ＞ P ′ Q ＋ QR ＋ RP ″，所以△ PQR 的周长最小，故 Q ，R 就是我们所求的小桥的 位置． 6． 解：(1)作法：如图作点 A 关于 CD 的对称点 A ′；
连接 A ′ B 交 CD 于点 M .则点 M 即为所求的点． 证明：在 CD 上任取一点 M ′，连接 AM ′， A ′ M ′， BM ′， AM ， 因为直线 CD 是 A ， A ′的对称轴， M ， M ′在 CD 上， 所以 AM ＝ A ′ M ， AM ′＝ A ′ M ′，所以 AM ＋ BM ＝ A ′ M ＋ BM ＝ A ′ B ， 在△ A ′ M ′ B 中，因为 A ′ M ′＋ BM ′＞ A ′ B ， 所以 AM ′＋ BM ′＝ A ′ M ′＋ BM ′＞ AM ＋ BM ，即 AM ＋ BM 最小． (2)由(1)可得 AM ＝ A ′ M ， A ′ C ＝ AC ＝ BD ，所以△ A ′ CM ≌△ BDM ， 即 A ′ M ＝ BM ， CM ＝ DM ，所以 M 为 CD 的中点，且 A ′ B ＝2 AM ， 因为 AM ＝500 m，所以 A ′ B ＝ AM ＋ BM ＝2 AM ＝1 000 m．即最短路程为 1000 m.