销售代理的开发与中断
摘要
销售代理的开发与中断问题是一个非线性的优化问题,即要求公司的开支最小。本文从公司每年分给各个代理的业务量为入题点进行考虑 ，只要业务量一确定，相应的年运行费用、一次性费用、中断费用、恢复费用等也就可以确定下来，进而可以求得总开支。
问题一：
min 514141) max(i jij jjij jl C l B T
51.ii ijj ijS xA xst ， 其中 是一个非常小的常数 约定 dd xxlijijij , ，取 d =0.0001,
ijx 的值如下表：
年份 代理一 代理二 代理三 代理四 总计 1 350 50 0 0 400 2 350 150 0 0 500 3 350 250 0 0 600 4 350 250 0 100 700 5 350 250 0 200 800 此时 min(T)=313.5 问题二：
min 514151415141] [ ] [i jij ji jij ji jij jv E m D l C T ，当 d =0.005,
ijx 的值如下表：
年份 代理一 代理二 代理三 代理四 总计 1 150 250 0 0 400 2 250 250 0 0 500 3 350 250 0 0 600 4 350 250 100 0 700 5 250 250 300 0 800 此时 min(T)=77.5
问题的重述
某公司正在某个城市开发些销售代理业务，经预测已确定了未来 5 年的业务量，分别为 400，500，600，700，800。该公司已初步物色了 4 家销售公司作为候选企业，下表给出该公司与每个候选企业代理关系的一次性费用，以及每个候选企业每年所能承揽的最大业务量和年运行费用，该公司应与哪些候选企业建立代理关系?
代理一 代理二 代理三 代理四 年最大业务量 350 250 300 200 一次性费用 100 80 90 70 年运行费用 7.5 4.0 6.5 3.0
若该公司目前已经与上述 4 个代理建立了关系，并且处于运行状态，但每年初可以临时中断或恢复代理关系，每次临时中断或重新恢复代理关系的费用如下表，该公司应如何对这些代理进行业务调整?
代理一 代理二 代理三 代理四 中断费用 5 3 4 2 恢复费用 5 4 1 4
模型假设
1. 在一年内只在年初进行业务量分配，中途不能有业务分配、中断、恢复； 2. 只要某代理分得有业务量，公司就应支付年运行费用和一次性费用； 符号说明
T ：
5 年里的总开支 iS
：公司第 i 年的业务量， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i
jA ：公司和代理 j 的年最大业务量， 4 , 3 , 2 , 1 j
jB ：公司和代理 j 建立代理关系的一次性费用， 4 , 3 , 2 , 1 j
jC ：公司和代理 j 建立代理关系的年运行费用， 4 , 3 , 2 , 1 j
jD ：公司和代理 j 的中断代理关系费用， 4 , 3 , 2 , 1 j
jE ：公司和代理 j 的恢复代理关系费用， 4 , 3 , 2 , 1 j
ijx ：公司在第 i 年分给代理 j 的业务量， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i ； 4 , 3 , 2 , 1 j
ijl ：
公司在第 i 年是否与代理 j 建立代理关系，即公司在第 i 年是否给代理 j 分配业务量(ijl =1，建立；ijl =0，未建立)， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i ； 4 , 3 , 2 , 1 j ，
当ijx >0,则ijl =1；当ijx =0，则ijl =0 ijm ：公司在第( i -1)年到第 i 年是否与代理 j 有业务中断关系， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i ； 4 , 3 , 2 , 1 j
1 0 01 1) 1 ( ) 1 () 1 (ij j i ij j iij j iijl l l ll lm或 即：2) )( 1 () 1 ( ) 1 ( ij j i ij j iijl l l lm 10jl
ijv ：公司在第( i -1)年到第 i 年是否与代理 j 有业务恢复关系， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i ； 4 , 3 , 2 , 1 j
1 0 01 1) 1 ( ) 1 () 1 (ij j i ij j iij j iijl l l ll lv或
即：2) )( 1 () 1 ( ) 1 ( ij j i ij j iijl l l lv 10jl
模型的分析
从公司每年分给各个代理的业务量为入题点进行考虑 ，只要业务量一确定，相应的年运行费用、一次性费用、中断费用、恢复费用等也就可以确定下来，进而可以求得总开支。
只 要ijx >0, 则ijl =1 ，ijx =0 ， 则ijl =0 ， 因 此 可 以 把ijx 和ijl 的 关 系 表 示 为 ：是一个非常小的常数 约定 dd xxlijijij , 。
就问题一而言，由题意可知：总开支 =总一次性费用+总运行费用，一次性费用为 5 年内只要公司分给代理的业务量 051 iijx 则就应该支付一次性费用；运行费用为只要 0 ijx 则就应该支付运行费。用数学符号表示为：
514141) max(i jij jjij jl C l B T ，即为总开支的目标函数。约束条件为：51.ii ijj ijS xA xst 。这便是第一问的模型。
问题二增加了中断费用和恢复费用，少了一次性费用,从而可知：总开支=总运行费用+总中断费用+总恢复费用。总运行费用在第一问的分析中可以求得，现在我们来求总中断费用和总恢复费用。
中断费用是代理由运行状态到中断状态而产生的，恢复费用是代理由中断状态到运行状态而产生的。由此定义：ijm 为公司在第( i -1)年到第 i 年是否与代理 j 有业务中断关系， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i ；4 , 3 , 2 , 1 j ；ijv 为公司在第( i -1)年到第 i 年是否与代理 j 有业务恢复关系， 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i ； 4 , 3 , 2 , 1 j 。
显然： 1 0 01 1) 1 ( ) 1 () 1 (ij j i ij j iij j iijl l l ll lm或， 1 0 01 1) 1 ( ) 1 () 1 (ij j i ij j iij j iijl l l ll lv或( 10jl )，于是中 断 费 用 和 恢 复 费 用 便 可 以 求 得 。
目 标 函 数 便 可 表 示 为 ：
514151415141] [ ] [i jij ji jij ji jij jv E m D l C T ，约束条件也为：51.ii ijj ijS xA xst 。这便是问题二的模型。
模型的建立与求解
问题一求解：
由以上分析可知问题一的模型为：
min 514141) max(i jij jjij jl C l B T
51.ii ijj ijS xA xst
为了便于求解和减少决策变量的个数，将d xxliijiijij 5151) max( ，d xxlijijij ( d 为非常小的一个常数)替换目标函数的 ) max( ij l 和ijl ，此时决策变量只有ijx ，由 Lingo10.0 编程可求的结果如下表（取 d =0.0001）：
年份(ijx ) 代理一 代理二 代理三 代理四 总计 1 350 50 0 0 400 2 350 150 0 0 500 3 350 250 0 0 600 4 350 250 0 100 700 5 350 250 0 200 800 此时 min(T)=313.5。程序及结果见附录一。
问题二求解：
由分析可知问题二的模型为：
514151415141] [ ] [i jij ji jij ji jij jv E m D l C T
51.ii ijj ijS xA xst
为了便于求解和减少决策变量的个数，将2) )( 1 () 1 ( ) 1 ( ij j i ij j iijl l l lm ，
2) )( 1 () 1 ( ) 1 ( ij j i ij j iijl l l lv ， 0 15 , 4 , 3 , 2 , 1iid xxlijijij对目标函数的ijm ，ijv ，ijl 进行替换，此时决策变量也只有ijx 。由 Lingo10.0 编程可求的结果如下表（取 d =0.0001）：
年份(ijx ) 代理一 代理二 代理三 代理四 总计 1 150 250 0 0 400 2 250 250 0 0 500 3 350 250 0 0 600 4 350 250 100 0 700 5 250 250 300 0 800 此时 min(T)=77.5。程序及结果见附录二。
模型的评价与分析
1. 该模型的求解结果虽然为固定值，其实不然，应该说是一个范围。而上面的搜索只是确定选择哪些代理来建立代理关系。如第一问的第一年的业务量分配选择了代理一和代理二，求得结果为 50 , 35012 11 x x 。其实只要满足 350 011 x ， 250 012 x 且 40012 11 x x 总开支也不会变。因此并不是ijx 的准确值，而是确定代理的选择。当 0 ijx 时表示选择该代理；当 0 ijx 时表示不选择该代理，文中的变量ijl 就说明了这点。
2. d 的取值也将会影响具体的求解结果。当 d 很小是d 0在计算机中是一个非常大的数；当 d 在比较大时，在 d x ij 时，d xxijij =0.5.因此在求解过程中应选择适当的 d 。
附录一: :
Model: Min=100*(x11+x21+x31+x41+x51)/(x11+x21+x31+x41+x51+d)+80*(x12+x22+x32+x42+x52)/(x12+x22+x32+x42+x52+d)+90*(x13+x23+x33+x43+x53)/(x13+x23+x33+x43+x53+d)+70*(x14+x24+x34+x44+x54)/(x14+x24+x34+x44+x54+d)+7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d));
x11<=350; x21<=350; x31<=350; x41<=350; x51<=350; x12<=250; x22<=250;
x32<=250; x42<=250; x52<=250; x13<=300; x23<=300; x33<=300; x43<=300; x53<=300; x14<=200; x24<=200; x34<=200; x44<=200; x54<=200; x11+x12+x13+x14>=400; x21+x22+x23+x24>=500; x31+x32+x33+x34>=600; x41+x42+x43+x44>=700; x51+x52+x53+x54>=800; d=0.00001; end
结果: :
Local optimal solution found.
Objective value:
313.4999
Total solver iterations:
6
Variable
Value
Reduced Cost
X11
350.0000
0.000000
X21
350.0000
0.000000
X31
350.0000
0.000000
X41
350.0000
0.000000
X51
350.0000
0.000000
D
0.1000000E-03
0.000000
X12
50.00000
0.000000
X22
150.0000
0.000000
X32
250.0000
0.000000
X42
250.0000
0.000000
X52
250.0000
0.000000
X13
0.000000
965000.0
X23
0.000000
965000.0
X33
0.000000
965000.0
X43
0.000000
965000.0
X53
0.000000
965000.0
X14
0.000000
30000.00
X24
0.000000
30000.00
X34
0.000000
30000.00
X44
100.0000
0.000000
X54
200.0000
0.000000 附录二: :
Model: Min=7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d))+5*((1-x11/(x11+d)+1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)+1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)+1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)+1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)+1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+3*((1-x12/(x12+d)+1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)+1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)+1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)+1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)+1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+4*((1-x13/(x13+d)+1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)+1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)+1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)+1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)+1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+2*((1-x14/(x14+d)+1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)+1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)+1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)+1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)+1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2+5*((1-x11/(x11+d)-1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)-1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)-1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)-1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)-1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+4*((1-x12/(x12+d)-1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)-1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)-1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)-1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)-1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+1*((1-x13/(x13+d)-1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)-1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)-1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)-1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)-1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+4*((1-x14/(x14+d)-1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)-1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)-1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)-1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)-1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2;
x11<=350; x21<=350; x31<=350; x41<=350; x51<=350; x12<=250; x22<=250; x32<=250; x42<=250; x52<=250; x13<=300; x23<=300; x33<=300; x43<=300; x53<=300; x14<=200;
x24<=200; x34<=200; x44<=200; x54<=200; x11+x12+x13+x14>=400; x21+x22+x23+x24>=500; x31+x32+x33+x34>=600; x41+x42+x43+x44>=700; x51+x52+x53+x54>=800; @ gin(x11);@ gin(x21);@ gin(x31);@ gin(x41);@ gin(x51); @ gin(x12);@ gin(x22);@ gin(x32);@ gin(x42);@ gin(x52); @ gin(x13);@ gin(x23);@ gin(x33);@ gin(x43);@ gin(x53); @ gin(x14);@ gin(x24);@ gin(x34);@ gin(x44);@ gin(x54); d=0.005; end
结果：
Local optimal solution found.
Objective value:
77.49817
Extended solver steps:
3
Total solver iterations:
40
Variable
Value
Reduced Cost
X11
150.0000
0.1666452E-05
D
0.5000000E-02
0.000000
X21
250.0000
0.5999821E-06
X31
350.0000
0.3061160E-06
X41
350.0000
0.3061160E-06
X51
250.0000
0.5999714E-06
X12
250.0000
0.3199760E-06
X22
250.0000
0.3199872E-06
X32
250.0000
0.3199872E-06
X42
250.0000
0.3199872E-06
X52
250.0000
0.3599856E-06
X13
0.000000
300.0000
X23
0.000000
1300.000
X33
0.000000
300.0500
X43
100.0000
0.5749217E-05
X53
300.0000
0.2777778E-06
X14
0.000000
-599.2804
X24
0.000000
599.7600
X34
0.000000
600.0000
X44
0.000000
600.0000
X54
0.000000
800.0000